El presente trabajo se centra en el desarrollo de dos bloques principales: en primer lugar, se aborda la fase de modelización, en la que se adaptan las ecuaciones de Navier-Stokes para describir el comportamiento de los espermatozoides en entornos biológicos, incorporando tanto aspectos físicos como biológicos del medio. En segundo lugar, se estudia la existencia de soluciones para el sistema estacionario mediante una formulación débil y la aplicación del método de Faedo-Galerkin, con el objetivo de garantizar una base matemática sólida. La motivación principal del trabajo surge de la necesidad de describir con rigor el comportamiento dinámico de los espermatozoides, utilizando herramientas analíticas que permitan establecer un marco teórico extrapolable a escenarios reales, como la propia fecundación del óvulo. En primer lugar, se establece un marco teórico que recoge los fundamentos matemáticos, físicos y físico-biológicos necesarios para el estudio del tema. Este marco se estructura de acuerdo con la división general del trabajo: por un lado, los fundamentos físicos y físico-biológicos se orientan a la fase de modelización, proporcionando las bases para adaptar las ecuaciones de Navier-Stokes al contexto del movimiento espermático en fluidos biológicos implicados en la fecundación del óvulo, como el moco cervical o el líquido uterino; por otro lado, la parte más matemática del marco teórico se centra en el análisis funcional y los conceptos clave para el estudio de la existencia de soluciones del sistema estacionario. Esta estructura permite construir una formulación precisa del problema y justificar rigurosamente tanto su planteamiento como su análisis. Sobre esta base, se procede a la obtención del sistema de ecuaciones adaptado, así como de las condiciones de contorno apropiadas, dando lugar a un modelo cerrado que describe el entorno en el que se desplazan los espermatozoides. En la segunda parte del trabajo, se aborda el análisis matemático del sistema desde el punto de vista de la existencia de soluciones. Para ello, se introduce el concepto de solución débil, formulado en el marco de los espacios funcionales adecuados. Con esta formulación previa, se implementa el método de FaedoGalerkin, una técnica de aproximación basada en proyecciones sobre subespacios finito-dimensionales. A través de estimaciones a priori y herramientas de compacidad, se demuestra que la sucesión de soluciones aproximadas converge hacia una solución débil del sistema original, lo que garantiza la consistencia y validez del modelo.
ABSTRACT
This work is structured around two main components. First, it addresses the modeling phase, in which the Navier–Stokes equations are adapted to describe the behavior of sperm cells in biological environments, incorporating both physical and physico-biological aspects of the medium. Second, it focuses on the existence of solutions for the stationary system through a weak formulation and the application of the Faedo–Galerkin method, with the aim of providing a solid mathematical foundation. The main motivation of the study lies in the need to rigorously describe the dynamic behavior of spermatozoa using analytical tools that allow for the establishment of a theoretical framework applicable to real-life scenarios, such as the process of ovum fertilization. The theoretical framework is established at the beginning and encompasses the mathematical, physical, and physico-biological foundations required for the subject. This framework is organized according to the general structure of the work: on the one hand, the physical and physico-biological foundations support the modeling phase, providing the basis for adapting the Navier–Stokes equations to the context of sperm movement in biological fluids involved in fertilization, such as cervical mucus or uterine fluid; on the other hand, the mathematical component focuses on functional analysis and key concepts for studying the existence of solutions to the stationary system. This structure allows for a precise formulation of the problem and a rigorous justification of both the modeling and analytical approaches. Based on this foundation, the adapted system of equations is derived along with appropriate boundary conditions, resulting in a closed model that describes the environment through which spermatozoa move. In the second part of the work, the mathematical analysis of the system is carried out from the perspective of the existence of solutions. For this purpose, the concept of weak solution is introduced within the framework of suitable functional spaces. Building on this formulation, the Faedo–Galerkin method is implemented—an approximation technique based on projections onto finitedimensional subspaces. Through a priori estimates and compactness tools, it is shown that the sequence of approximate solutions converges to a weak solution of the original system, ensuring the consistency and validity of the model.
El presente trabajo se centra en el desarrollo de dos bloques principales: en primer lugar, se aborda la fase de modelización, en la que se adaptan las ecuaciones de Navier-Stokes para describir el comportamiento de los espermatozoides en entornos biológicos, incorporando tanto aspectos físicos como biológicos del medio. En segundo lugar, se estudia la existencia de soluciones para el sistema estacionario mediante una formulación débil y la aplicación del método de Faedo-Galerkin, con el objetivo de garantizar una base matemática sólida. La motivación principal del trabajo surge de la necesidad de describir con rigor el comportamiento dinámico de los espermatozoides, utilizando herramientas analíticas que permitan establecer un marco teórico extrapolable a escenarios reales, como la propia fecundación del óvulo. En primer lugar, se establece un marco teórico que recoge los fundamentos matemáticos, físicos y físico-biológicos necesarios para el estudio del tema. Este marco se estructura de acuerdo con la división general del trabajo: por un lado, los fundamentos físicos y físico-biológicos se orientan a la fase de modelización, proporcionando las bases para adaptar las ecuaciones de Navier-Stokes al contexto del movimiento espermático en fluidos biológicos implicados en la fecundación del óvulo, como el moco cervical o el líquido uterino; por otro lado, la parte más matemática del marco teórico se centra en el análisis funcional y los conceptos clave para el estudio de la existencia de soluciones del sistema estacionario. Esta estructura permite construir una formulación precisa del problema y justificar rigurosamente tanto su planteamiento como su análisis. Sobre esta base, se procede a la obtención del sistema de ecuaciones adaptado, así como de las condiciones de contorno apropiadas, dando lugar a un modelo cerrado que describe el entorno en el que se desplazan los espermatozoides. En la segunda parte del trabajo, se aborda el análisis matemático del sistema desde el punto de vista de la existencia de soluciones. Para ello, se introduce el concepto de solución débil, formulado en el marco de los espacios funcionales adecuados. Con esta formulación previa, se implementa el método de FaedoGalerkin, una técnica de aproximación basada en proyecciones sobre subespacios finito-dimensionales. A través de estimaciones a priori y herramientas de compacidad, se demuestra que la sucesión de soluciones aproximadas converge hacia una solución débil del sistema original, lo que garantiza la consistencia y validez del modelo.
ABSTRACT
This work is structured around two main components. First, it addresses the modeling phase, in which the Navier–Stokes equations are adapted to describe the behavior of sperm cells in biological environments, incorporating both physical and physico-biological aspects of the medium. Second, it focuses on the existence of solutions for the stationary system through a weak formulation and the application of the Faedo–Galerkin method, with the aim of providing a solid mathematical foundation. The main motivation of the study lies in the need to rigorously describe the dynamic behavior of spermatozoa using analytical tools that allow for the establishment of a theoretical framework applicable to real-life scenarios, such as the process of ovum fertilization. The theoretical framework is established at the beginning and encompasses the mathematical, physical, and physico-biological foundations required for the subject. This framework is organized according to the general structure of the work: on the one hand, the physical and physico-biological foundations support the modeling phase, providing the basis for adapting the Navier–Stokes equations to the context of sperm movement in biological fluids involved in fertilization, such as cervical mucus or uterine fluid; on the other hand, the mathematical component focuses on functional analysis and key concepts for studying the existence of solutions to the stationary system. This structure allows for a precise formulation of the problem and a rigorous justification of both the modeling and analytical approaches. Based on this foundation, the adapted system of equations is derived along with appropriate boundary conditions, resulting in a closed model that describes the environment through which spermatozoa move. In the second part of the work, the mathematical analysis of the system is carried out from the perspective of the existence of solutions. For this purpose, the concept of weak solution is introduced within the framework of suitable functional spaces. Building on this formulation, the Faedo–Galerkin method is implemented—an approximation technique based on projections onto finitedimensional subspaces. Through a priori estimates and compactness tools, it is shown that the sequence of approximate solutions converges to a weak solution of the original system, ensuring the consistency and validity of the model. Read More
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