El presente TFT (Trabajo Fin de Titulación) del Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales, realiza un estudio en profundidad sobre algunos de los métodos iterativos más comunes utilizados en la industria y las matemáticas para el cálculo de raíces de polinomios.
El trabajo comienza con una introducción (1. Introducción), declaración de objetivos del trabajo (2.Objetivos) y descripción de la metodología seguida (3. Metodología). Estos tres apartados en su conjunto, establecen la base para la comprensión y entendimiento del trabajo, de los fines de este, y de su proceso de elaboración.
El apartado 4. Introducción a los métodos numéricos iterativos da una explicación del tipo de método a estudiar en este trabajo (métodos iterativos) y muestra aspectos relevantes al funcionamiento de estos, como los criterios de parada.
La sección 5. Método de Newton introduce este método e incluye el desarrollo matemático completo para deducir a partir de este sus algoritmos derivados, que son, el Método de Newton para Raíces Múltiples y el Método de Schröder. Seguidamente, se realizan experimentos que comparan, prueban y buscan errores en los códigos propuestos que replican estos métodos.
La parte 6. Problemas mal condicionados introduce la importancia de los problemas mal condicionados y su relación con el control de perturbaciones en los coeficientes de los polinomios, así como la relevancia de estas últimas. Posteriormente, se introducen los conceptos de número de condición absoluto y relativo. Estos son medidas matemáticas clásicas del mal condicionamiento de un problema.
Para respaldar estos conceptos, se llevan a cabo en este mismo apartado experimentos con casos bien y mal condicionados, el ejemplo más relevante de estos últimos es el Polinomio Wilkinson.
A continuación, se desarrolla y define cómo se puede preservar la multiplicidad al perturbar un polinomio haciendo uso de las variedades peyorativas y estructuras de multiplicidad. Este es el punto de inflexión del trabajo ya que utilizando estos conceptos se puede definir la iteración de Gauss-Newton, que es especialmente útil para resolver problemas mal condicionados, y el número de condición peyorativo, que cuantifica la posibilidad de resolver problemas mal condicionados con esta iteración. También se incluyen las definiciones y ejemplos de cálculo de variedades peyorativas, números de condición peyorativos y estructuras de multiplicidad.
En el apartado 7. Algoritmos de cálculo para problemas mal condicionados se da el desarrollo matemático completo hasta llegar al Algoritmo I de Zhonggang Zeng y sus condiciones de aplicación. Además se incluyen varios ejemplos de cálculo de raíces ante polinomios de distinta índole.
Finalmente, en la sección 8. Comparativa de algoritmos para raíces múltiples se realizan distintos experimentos que muestran las ventajas y desventajas de cada método con el fin de ver cual es la sinergia entre los tres métodos para raíces múltiples y ver como se complementan entre sí.
En el apartado de 9. Resultados y Discusión se realiza el análisis necesario de los resultados obtenidos en los ejercicios para dar lugar a las conclusiones del trabajo (10.Conclusiones), de las cuales se incluye un resumen a continuación:
■ Relación entre el orden de convergencia y el número de iteraciones necesarias para convergencia (velocidad de convergencia). Un método con mayor orden converge más rápido que uno con menor orden a misma constate de error asintótica y mismo problema.
■ Relación entre cálculo analítico y numérico de convergencia. Los resultados de los cálculos de convergencia analíticos no se cumplen necesariamente cuando se introducen perturbaciones en los polinomios.
■ Influencia de la iteración inicial en la convergencia de los métodos. El posicionamiento de esta puede determinar que el Método de Schröder y el Algoritmo I converjan o no. Así como provocar que el Método de Newton en raíces simples converja a una raíz no deseada.
■ Influencia de la iteración inicial z0 en la precisión de las aproximaciones a las raíces dadas por el Algoritmo I de Zhonggang Zeng. La elección de esta puede determinar una mayor o menor precisión en las aproximaciones a las raíces. Puede ser conveniente alejarla de la raíz en casos de número de condición peyorativo bajo y acercarla a la raíz en el caso contrario.
■ Convergencia exclusiva de un método. Los tres métodos de raíces múltiples tienen casos en los que únicamente uno de ellos converge a la solución. Por ello queda demostrado que los tres algoritmos propuesto se complementan entre sí en cuanto a abordar un mayor número de casos se refiere.
Al final del trabajo se incluyen varios apartados relacionados con la normativa, que aportan información de interés relativa al trabajo y al marco ético, legal, social, económico y medioambiental.
El presente TFT (Trabajo Fin de Titulación) del Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales, realiza un estudio en profundidad sobre algunos de los métodos iterativos más comunes utilizados en la industria y las matemáticas para el cálculo de raíces de polinomios.
El trabajo comienza con una introducción (1. Introducción), declaración de objetivos del trabajo (2.Objetivos) y descripción de la metodología seguida (3. Metodología). Estos tres apartados en su conjunto, establecen la base para la comprensión y entendimiento del trabajo, de los fines de este, y de su proceso de elaboración.
El apartado 4. Introducción a los métodos numéricos iterativos da una explicación del tipo de método a estudiar en este trabajo (métodos iterativos) y muestra aspectos relevantes al funcionamiento de estos, como los criterios de parada.
La sección 5. Método de Newton introduce este método e incluye el desarrollo matemático completo para deducir a partir de este sus algoritmos derivados, que son, el Método de Newton para Raíces Múltiples y el Método de Schröder. Seguidamente, se realizan experimentos que comparan, prueban y buscan errores en los códigos propuestos que replican estos métodos.
La parte 6. Problemas mal condicionados introduce la importancia de los problemas mal condicionados y su relación con el control de perturbaciones en los coeficientes de los polinomios, así como la relevancia de estas últimas. Posteriormente, se introducen los conceptos de número de condición absoluto y relativo. Estos son medidas matemáticas clásicas del mal condicionamiento de un problema.
Para respaldar estos conceptos, se llevan a cabo en este mismo apartado experimentos con casos bien y mal condicionados, el ejemplo más relevante de estos últimos es el Polinomio Wilkinson.
A continuación, se desarrolla y define cómo se puede preservar la multiplicidad al perturbar un polinomio haciendo uso de las variedades peyorativas y estructuras de multiplicidad. Este es el punto de inflexión del trabajo ya que utilizando estos conceptos se puede definir la iteración de Gauss-Newton, que es especialmente útil para resolver problemas mal condicionados, y el número de condición peyorativo, que cuantifica la posibilidad de resolver problemas mal condicionados con esta iteración. También se incluyen las definiciones y ejemplos de cálculo de variedades peyorativas, números de condición peyorativos y estructuras de multiplicidad.
En el apartado 7. Algoritmos de cálculo para problemas mal condicionados se da el desarrollo matemático completo hasta llegar al Algoritmo I de Zhonggang Zeng y sus condiciones de aplicación. Además se incluyen varios ejemplos de cálculo de raíces ante polinomios de distinta índole.
Finalmente, en la sección 8. Comparativa de algoritmos para raíces múltiples se realizan distintos experimentos que muestran las ventajas y desventajas de cada método con el fin de ver cual es la sinergia entre los tres métodos para raíces múltiples y ver como se complementan entre sí.
En el apartado de 9. Resultados y Discusión se realiza el análisis necesario de los resultados obtenidos en los ejercicios para dar lugar a las conclusiones del trabajo (10.Conclusiones), de las cuales se incluye un resumen a continuación:
■ Relación entre el orden de convergencia y el número de iteraciones necesarias para convergencia (velocidad de convergencia). Un método con mayor orden converge más rápido que uno con menor orden a misma constate de error asintótica y mismo problema.
■ Relación entre cálculo analítico y numérico de convergencia. Los resultados de los cálculos de convergencia analíticos no se cumplen necesariamente cuando se introducen perturbaciones en los polinomios.
■ Influencia de la iteración inicial en la convergencia de los métodos. El posicionamiento de esta puede determinar que el Método de Schröder y el Algoritmo I converjan o no. Así como provocar que el Método de Newton en raíces simples converja a una raíz no deseada.
■ Influencia de la iteración inicial z0 en la precisión de las aproximaciones a las raíces dadas por el Algoritmo I de Zhonggang Zeng. La elección de esta puede determinar una mayor o menor precisión en las aproximaciones a las raíces. Puede ser conveniente alejarla de la raíz en casos de número de condición peyorativo bajo y acercarla a la raíz en el caso contrario.
■ Convergencia exclusiva de un método. Los tres métodos de raíces múltiples tienen casos en los que únicamente uno de ellos converge a la solución. Por ello queda demostrado que los tres algoritmos propuesto se complementan entre sí en cuanto a abordar un mayor número de casos se refiere.
Al final del trabajo se incluyen varios apartados relacionados con la normativa, que aportan información de interés relativa al trabajo y al marco ético, legal, social, económico y medioambiental. Read More
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