This research proposes, analyzes, and simulates compartmental epidemiological models that reflect key epidemic dynamics with relevance to public health decision-making. The population is divided into four classes: susceptible (S), vaccinated (V), infected (I), and recovered (R), forming the SVIR structure used in both the ODE and PDE formulations. These models represent the evolution of each of these populations and incorporate reinfection, immunity loss, vaccination, and spatial spread, supported by theoretical analysis and simulation. Two mathematical settings are considered: ordinary differential equations (ODEs) for well-mixed populations and partial differential equations (PDEs) with linear and nonlinear diffusion in one dimension.
A central contribution is the introduction of a time- and state-dependent infection rate function, $kappa(t,I,S)$, which evolves based on both temporal progression and current epidemiological state. This formulation captures regulatory interventions and behavioral responses, enabling adaptive transmission dynamics and self-sustained epidemic waves. The SVIR model with recruitment and birth is analyzed in the ODE setting, with results including a basic reproduction number, a disease-free equilibrium characterization, and local stability analysis. Simulations explore how initial conditions, vaccination timing, and contact rate variations shape epidemic trajectories.
Neural network methods are used to estimate the time-varying contact rate $beta(t)$. LSTM models trained on regional COVID-19 data from Spain provide adaptive estimates that address data sparsity and reporting inconsistencies. Results show that machine learning can improve parameter adaptability, though performance depends on data quality and preprocessing.
The PDE framework extends the SVIR model with one-dimensional nonlinear diffusion to study spatial dynamics. A detailed analytical study is conducted for the birth-extended version, establishing properties such as non-negativity, boundedness, and solution existence. A positive invariant region is constructed and validated numerically. Simulations examine how spatial heterogeneity, initial infection levels, and parameter variation influence the emergence and persistence of epidemic waves.
The results suggest that combining temporal and spatial dynamics, nonlinear transmission, and data-driven estimation enhances the descriptive power of epidemic models. Analytical findings ensure biological interpretation, while simulations highlight the impact of key mechanisms on epidemic trends. This integration of theory, simulation, and estimation provides a flexible modeling framework applicable to more complex scenarios, including multi-strain dynamics or preliminary policy analysis.
Despite its contributions, the framework has limitations. Estimation accuracy depends on data quality, and the infection rate uses empirically defined thresholds. The PDE model is restricted to one spatial dimension. Future extensions may include two-dimensional spatial modeling, nonlocal formulations of the infection rate, and hybrid parameter estimation methods combining machine learning with epidemiological constraints.
RESUMEN
Esta investigación propone, analiza y simula modelos epidemiológicos compartimentales que reflejan dinámicas clave de las epidemias, con relevancia para la toma de decisiones en salud pública. La población se divide en cuatro clases: susceptibles (S), vacunados (V), infectados (I) y recuperados (R), formando la estructura SVIR utilizada tanto en las formulaciones con ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como con ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Estos modelos representan la evolución de cada una de las poblaciones e incorporan reinfección, pérdida de inmunidad, vacunación y propagación espacial, respaldados por análisis teóricos y simulaciones. Se consideran dos marcos matemáticos: las EDO, que representan poblaciones homogéneamente mezcladas, y las EDP, que incorporan difusión lineal y no lineal en una dimensión espacial.
Una contribución central es la tasa de infección dependiente del tiempo y del estado, $kappa(t,I, S)$, que captura intervenciones regulatorias y respuestas conductuales. Este mecanismo permite transmisiones adaptativas y la aparición de olas epidémicas autorreguladas. El modelo SVIR con reclutamiento y nacimientos se analiza en el marco EDO, con resultados como el número básico de reproducción, el equilibrio libre de enfermedad y un análisis de estabilidad local. Las simulaciones exploran cómo las condiciones iniciales, la vacunación y las tasas de contacto influyen en las trayectorias epidémicas.
Se emplean redes neuronales LSTM para estimar la tasa de contacto $beta(t)$, entrenadas con datos regionales de COVID-19 en España. Las estimaciones permiten abordar vacíos e inconsistencias en los datos, aunque su eficiencia depende de la calidad y el preprocesamiento.
El modelo EDP extiende el SVIR mediante difusión no lineal en una dimensión, permitiendo analizar heterogeneidad espacial y dinámica de propagación. Se propone una versión con nacimientos, para la cual se establecen propiedades analíticas como no negatividad, acotación y existencia de soluciones, y se valida una región invariante positiva. Las simulaciones examinan el impacto de la heterogeneidad espacial y parámetros clave en la estructura y persistencia de las olas epidémicas.
Los resultados indican que integrar dinámicas temporales y espaciales, transmisión no lineal y estimación basada en datos mejora la capacidad descriptiva de los modelos. El análisis teórico garantiza intrepretación biológica, mientras que las simulaciones muestran cómo parámetros clave moldean la evolución epidémica. Esta combinación de teoría, simulación y estimación ofrece un marco flexible que puede adaptarse a escenarios más complejos, como modelos multicepa o análisis preliminar de políticas.
Aun así, el marco tiene limitaciones: la precisión de las estimaciones depende de los datos disponibles, la tasa $kappa(t,I,S)$ requiere calibración empírica, y el modelo espacial se restringe a una dimensión. Futuros desarrollos pueden incluir modelos bidimensionales, formulaciones no locales de la tasa de infección y métodos híbridos de estimación que combinen aprendizaje automático con restricciones epidemiológicas.
This research proposes, analyzes, and simulates compartmental epidemiological models that reflect key epidemic dynamics with relevance to public health decision-making. The population is divided into four classes: susceptible (S), vaccinated (V), infected (I), and recovered (R), forming the SVIR structure used in both the ODE and PDE formulations. These models represent the evolution of each of these populations and incorporate reinfection, immunity loss, vaccination, and spatial spread, supported by theoretical analysis and simulation. Two mathematical settings are considered: ordinary differential equations (ODEs) for well-mixed populations and partial differential equations (PDEs) with linear and nonlinear diffusion in one dimension.
A central contribution is the introduction of a time- and state-dependent infection rate function, $kappa(t,I,S)$, which evolves based on both temporal progression and current epidemiological state. This formulation captures regulatory interventions and behavioral responses, enabling adaptive transmission dynamics and self-sustained epidemic waves. The SVIR model with recruitment and birth is analyzed in the ODE setting, with results including a basic reproduction number, a disease-free equilibrium characterization, and local stability analysis. Simulations explore how initial conditions, vaccination timing, and contact rate variations shape epidemic trajectories.
Neural network methods are used to estimate the time-varying contact rate $beta(t)$. LSTM models trained on regional COVID-19 data from Spain provide adaptive estimates that address data sparsity and reporting inconsistencies. Results show that machine learning can improve parameter adaptability, though performance depends on data quality and preprocessing.
The PDE framework extends the SVIR model with one-dimensional nonlinear diffusion to study spatial dynamics. A detailed analytical study is conducted for the birth-extended version, establishing properties such as non-negativity, boundedness, and solution existence. A positive invariant region is constructed and validated numerically. Simulations examine how spatial heterogeneity, initial infection levels, and parameter variation influence the emergence and persistence of epidemic waves.
The results suggest that combining temporal and spatial dynamics, nonlinear transmission, and data-driven estimation enhances the descriptive power of epidemic models. Analytical findings ensure biological interpretation, while simulations highlight the impact of key mechanisms on epidemic trends. This integration of theory, simulation, and estimation provides a flexible modeling framework applicable to more complex scenarios, including multi-strain dynamics or preliminary policy analysis.
Despite its contributions, the framework has limitations. Estimation accuracy depends on data quality, and the infection rate uses empirically defined thresholds. The PDE model is restricted to one spatial dimension. Future extensions may include two-dimensional spatial modeling, nonlocal formulations of the infection rate, and hybrid parameter estimation methods combining machine learning with epidemiological constraints.
RESUMEN
Esta investigación propone, analiza y simula modelos epidemiológicos compartimentales que reflejan dinámicas clave de las epidemias, con relevancia para la toma de decisiones en salud pública. La población se divide en cuatro clases: susceptibles (S), vacunados (V), infectados (I) y recuperados (R), formando la estructura SVIR utilizada tanto en las formulaciones con ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como con ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Estos modelos representan la evolución de cada una de las poblaciones e incorporan reinfección, pérdida de inmunidad, vacunación y propagación espacial, respaldados por análisis teóricos y simulaciones. Se consideran dos marcos matemáticos: las EDO, que representan poblaciones homogéneamente mezcladas, y las EDP, que incorporan difusión lineal y no lineal en una dimensión espacial.
Una contribución central es la tasa de infección dependiente del tiempo y del estado, $kappa(t,I, S)$, que captura intervenciones regulatorias y respuestas conductuales. Este mecanismo permite transmisiones adaptativas y la aparición de olas epidémicas autorreguladas. El modelo SVIR con reclutamiento y nacimientos se analiza en el marco EDO, con resultados como el número básico de reproducción, el equilibrio libre de enfermedad y un análisis de estabilidad local. Las simulaciones exploran cómo las condiciones iniciales, la vacunación y las tasas de contacto influyen en las trayectorias epidémicas.
Se emplean redes neuronales LSTM para estimar la tasa de contacto $beta(t)$, entrenadas con datos regionales de COVID-19 en España. Las estimaciones permiten abordar vacíos e inconsistencias en los datos, aunque su eficiencia depende de la calidad y el preprocesamiento.
El modelo EDP extiende el SVIR mediante difusión no lineal en una dimensión, permitiendo analizar heterogeneidad espacial y dinámica de propagación. Se propone una versión con nacimientos, para la cual se establecen propiedades analíticas como no negatividad, acotación y existencia de soluciones, y se valida una región invariante positiva. Las simulaciones examinan el impacto de la heterogeneidad espacial y parámetros clave en la estructura y persistencia de las olas epidémicas.
Los resultados indican que integrar dinámicas temporales y espaciales, transmisión no lineal y estimación basada en datos mejora la capacidad descriptiva de los modelos. El análisis teórico garantiza intrepretación biológica, mientras que las simulaciones muestran cómo parámetros clave moldean la evolución epidémica. Esta combinación de teoría, simulación y estimación ofrece un marco flexible que puede adaptarse a escenarios más complejos, como modelos multicepa o análisis preliminar de políticas.
Aun así, el marco tiene limitaciones: la precisión de las estimaciones depende de los datos disponibles, la tasa $kappa(t,I,S)$ requiere calibración empírica, y el modelo espacial se restringe a una dimensión. Futuros desarrollos pueden incluir modelos bidimensionales, formulaciones no locales de la tasa de infección y métodos híbridos de estimación que combinen aprendizaje automático con restricciones epidemiológicas. Read More
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