Este trabajo introduce la Geometría Tropical desde sus fundamentos algebraicos hasta sus aplicaciones. Se define primero el semianillo tropical y los polinomios tropicales, cuyos grafos son funciones lineales a trozos. A continuación, se construyen variedades tropicales —empleando valoraciones, formas iniciales y geometría poliédrica— y se formulan y demuestran los dos teoremas centrales: el Teorema Fundamental de Tropicalización y el Teorema de Estructura poliédrica. Finalmente, se ilustra una aplicación práctica mediante la resolución de caminos más cortos en grafos. Se incluyen ejemplos gráficos e implementaciones en Maple para facilitar la intuición y el estudio.
ABSTRACT
This work presents Tropical Geometry from its algebraic foundations to concrete applications. We first define the tropical semiring and tropical polynomials, whose graphs yield piecewise-linear functions. Next, we build tropical varieties using valuations, initial forms, and polyhedral geometry, and we state and prove the two central theorems: the Fundamental Tropicalization Theorem and the Structure Theorem describing their polyhedral complexes. Finally, we showcase a practical application by solving shortest-path problems on graphs. Throughout, graphical examples and Maple implementations are provided to foster intuition and deeper understanding.
Este trabajo introduce la Geometría Tropical desde sus fundamentos algebraicos hasta sus aplicaciones. Se define primero el semianillo tropical y los polinomios tropicales, cuyos grafos son funciones lineales a trozos. A continuación, se construyen variedades tropicales —empleando valoraciones, formas iniciales y geometría poliédrica— y se formulan y demuestran los dos teoremas centrales: el Teorema Fundamental de Tropicalización y el Teorema de Estructura poliédrica. Finalmente, se ilustra una aplicación práctica mediante la resolución de caminos más cortos en grafos. Se incluyen ejemplos gráficos e implementaciones en Maple para facilitar la intuición y el estudio.
ABSTRACT
This work presents Tropical Geometry from its algebraic foundations to concrete applications. We first define the tropical semiring and tropical polynomials, whose graphs yield piecewise-linear functions. Next, we build tropical varieties using valuations, initial forms, and polyhedral geometry, and we state and prove the two central theorems: the Fundamental Tropicalization Theorem and the Structure Theorem describing their polyhedral complexes. Finally, we showcase a practical application by solving shortest-path problems on graphs. Throughout, graphical examples and Maple implementations are provided to foster intuition and deeper understanding. Read More
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