Accurate numerical modeling of nonhydrostatic dynamics is essential to properly describe the physical phenomena in stratified flows in oceans and lakes, including internal waves, Kelvin-Helmholtz instabilities and continental slope currents. Nevertheless, capturing such dynamics often requires significant computational cost due to the inherent complexity of their mathematical formulation.
In oceanography, nonhydrostatic models are based on the full incompressible Navier-Stokes equations formulated within a rotating framework for a fluid of variable density. These models assume that seawater is an incompressible Newtonian fluid and that the Boussinesq approximation is valid. The governing equations are complemented by convection-diffusion equations for salinity and temperature, and an equation of state for density.
The high-order finite element method (FEM) for solving the incompressible Navier-Stokes and associated convection-diffusion equations has proven advantages in accuracy and computational efficiency over more conventional numerical approaches. However, FEM is known to encounter difficulties in accurately resolving discontinuous regions, often exhibiting spurious oscillations near sharp gradients. Stratified flows in oceans and lakes are characterized by sharp gradients in salinity and temperature at the interfaces between different water masses. Spurious oscillations in these variables can lead to unphysical values, e.g., negative densities, and can deteriorate the overall solution, leading to numerical instability.
The time discretization of the convection terms of nonhydrostatic models can also be a source of spurious oscillations. The Eulerian-Lagrangian approaches, including semi-Lagrangian and Lagrange-Galerkin methods, are well known for permitting large time steps without compromising solution accuracy. However, the semi-Lagrangian scheme may encounter difficulties in preserving the shape of convected physical quantities in the presence of sharp gradients, primarily due to the interpolation step involved in the method.
In response to these challenges, this thesis is devoted to the development of stabilized Eulerian-Lagrangian high-order finite element methods for the numerical simulation of a nonhydrostatic ocean model. Both Lagrange-Galerkin and semi-Lagrangian schemes are used for time discretization, combined with high-order continuous spatial discretization on structured and unstructured quadrilateral meshes. Stabilization techniques based on interpolation methods and numerical integrations are applied to reduce spurious oscillations. A novel feature of the proposed methods is the use of mesh adaptation strategies to identify elements affected by spurious oscillations, enabling the selective application of stabilization techniques.
The proposed approaches are tested on classical two-dimensional convection-diffusion problems, which share governing equations with those used for salinity and temperature conservation. Furthermore, the nonhydrostatic ocean model is validated against benchmark results for stratified flows in oceans and lakes. The numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed methods in achieving high-order accuracy in smooth regions while reducing spurious oscillations near sharp gradients, resulting in stable and accurate numerical solutions for convection-diffusion problems and stratified flows in oceans and lakes.
RESUMEN
La resolución numérica de la dinámica no hidrostática en flujos estratificados es fundamental para simular adecuadamente los fenómenos físicos presentes en océanos y lagos, como las ondas internas, las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz y las corrientes inducidas por el talud continental. No obstante, la simulación de estas dinámicas conlleva un elevado coste computacional, debido a la complejidad intrínseca de su formulación matemática.
En oceanografía, los modelos no hidrostáticos se basan en las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible, formuladas en un sistema de referencia no inercial y considerando la densidad variable. Estos modelos asumen que el agua del mar se comporta como un fluido newtoniano incompresible y que es válida la aproximación de Boussinesq. El sistema de ecuaciones se complementa con ecuaciones de convección-difusión para la salinidad y la temperatura, junto con una ecuación de estado para la densidad.
El método de elementos finitos (FEM) de alto orden, aplicado a la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles y las correspondientes ecuaciones de convección-difusión, han demonstrado ventajas en precisión y eficiencia computacional frente a métodos numéricos convencionales. Sin embargo, el FEM tiene dificultad a la hora de resolver con precisión regiones con discontinuidades, presentando oscilaciones espurias en zonas con gradientes elevados. Los flujos estratificados en océanos y lagos se caracterizan precisamente por cambios bruscos de salinidad y temperatura en la interfaz entre distintas masas de agua. La presencia de oscilaciones espurias en estas variables puede dar lugar a valores no físicos, como densidades negativas. Además, estas oscilaciones pueden comprometer la solución global del modelo, provocando inestabilidades numéricas.
La discretización temporal de los términos de convección en los modelos no hidrostáticos también puede generar oscilaciones espurias. Los enfoques Euleriano-Lagrangiano, que incluyen los métodos Semilagrangiano y Lagrange-Galerkin, son ampliamente conocidos por permitir el uso de pasos de tiempo grandes sin comprometer la exactitud de la solución. No obstante, el esquema Semilagrangiano puede tener limitaciones a la hora de preservar la forma de las variables transportadas en presencia de gradientes bruscos, debido a la interpolación numérica que requiere este método.
Ante estas dificultades, la presente tesis se centra en el desarrollo de técnicas de estabilización para métodos Euleriano-Lagrangiano combinados con el elementos finitos de alto orden para la simulación numérica de un modelo oceánico no hidrostático. Se emplean los esquemas Lagrange-Galerkin y Semilagrangiano para la discretización temporal, junto con una discretización espacial continua de alto orden sobre mallados formados por elementos cuadriláteros, tanto estructurados como no estructurados. Además, se aplican técnicas de estabilización basadas en métodos de interpolación y de integración numérica para reducir las oscilaciones espurias. Una de las principales novedades de los métodos propuestos es la incorporación de estrategias de adaptación de malla, que permiten identificar las regiones afectadas por dichas oscilaciones y aplicar la estabilización de forma selectiva.
Los métodos propuestos se evalúan mediante problemas clásicos bidimensionales de convección-difusión, cuyas ecuaciones son análogas a las utilizadas en la conservación de salinidad y temperatura. Asimismo, el modelo oceánico no hidrostático se valida a través de resultados disponibles en la literatura de flujos estratificados en océanos y lagos. Los resultados numéricos obtenidos demuestran la eficacia de los métodos desarrollados, al lograr precisión de alto orden en regiones suaves y reducir significativamente las oscilaciones espurias en zonas con gradientes elevados, obteniendo soluciones numéricas estables y precisas para problemas de convección-difusión y flujos estratificados en océanos y lagos.
Accurate numerical modeling of nonhydrostatic dynamics is essential to properly describe the physical phenomena in stratified flows in oceans and lakes, including internal waves, Kelvin-Helmholtz instabilities and continental slope currents. Nevertheless, capturing such dynamics often requires significant computational cost due to the inherent complexity of their mathematical formulation.
In oceanography, nonhydrostatic models are based on the full incompressible Navier-Stokes equations formulated within a rotating framework for a fluid of variable density. These models assume that seawater is an incompressible Newtonian fluid and that the Boussinesq approximation is valid. The governing equations are complemented by convection-diffusion equations for salinity and temperature, and an equation of state for density.
The high-order finite element method (FEM) for solving the incompressible Navier-Stokes and associated convection-diffusion equations has proven advantages in accuracy and computational efficiency over more conventional numerical approaches. However, FEM is known to encounter difficulties in accurately resolving discontinuous regions, often exhibiting spurious oscillations near sharp gradients. Stratified flows in oceans and lakes are characterized by sharp gradients in salinity and temperature at the interfaces between different water masses. Spurious oscillations in these variables can lead to unphysical values, e.g., negative densities, and can deteriorate the overall solution, leading to numerical instability.
The time discretization of the convection terms of nonhydrostatic models can also be a source of spurious oscillations. The Eulerian-Lagrangian approaches, including semi-Lagrangian and Lagrange-Galerkin methods, are well known for permitting large time steps without compromising solution accuracy. However, the semi-Lagrangian scheme may encounter difficulties in preserving the shape of convected physical quantities in the presence of sharp gradients, primarily due to the interpolation step involved in the method.
In response to these challenges, this thesis is devoted to the development of stabilized Eulerian-Lagrangian high-order finite element methods for the numerical simulation of a nonhydrostatic ocean model. Both Lagrange-Galerkin and semi-Lagrangian schemes are used for time discretization, combined with high-order continuous spatial discretization on structured and unstructured quadrilateral meshes. Stabilization techniques based on interpolation methods and numerical integrations are applied to reduce spurious oscillations. A novel feature of the proposed methods is the use of mesh adaptation strategies to identify elements affected by spurious oscillations, enabling the selective application of stabilization techniques.
The proposed approaches are tested on classical two-dimensional convection-diffusion problems, which share governing equations with those used for salinity and temperature conservation. Furthermore, the nonhydrostatic ocean model is validated against benchmark results for stratified flows in oceans and lakes. The numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed methods in achieving high-order accuracy in smooth regions while reducing spurious oscillations near sharp gradients, resulting in stable and accurate numerical solutions for convection-diffusion problems and stratified flows in oceans and lakes.
RESUMEN
La resolución numérica de la dinámica no hidrostática en flujos estratificados es fundamental para simular adecuadamente los fenómenos físicos presentes en océanos y lagos, como las ondas internas, las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz y las corrientes inducidas por el talud continental. No obstante, la simulación de estas dinámicas conlleva un elevado coste computacional, debido a la complejidad intrínseca de su formulación matemática.
En oceanografía, los modelos no hidrostáticos se basan en las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible, formuladas en un sistema de referencia no inercial y considerando la densidad variable. Estos modelos asumen que el agua del mar se comporta como un fluido newtoniano incompresible y que es válida la aproximación de Boussinesq. El sistema de ecuaciones se complementa con ecuaciones de convección-difusión para la salinidad y la temperatura, junto con una ecuación de estado para la densidad.
El método de elementos finitos (FEM) de alto orden, aplicado a la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles y las correspondientes ecuaciones de convección-difusión, han demonstrado ventajas en precisión y eficiencia computacional frente a métodos numéricos convencionales. Sin embargo, el FEM tiene dificultad a la hora de resolver con precisión regiones con discontinuidades, presentando oscilaciones espurias en zonas con gradientes elevados. Los flujos estratificados en océanos y lagos se caracterizan precisamente por cambios bruscos de salinidad y temperatura en la interfaz entre distintas masas de agua. La presencia de oscilaciones espurias en estas variables puede dar lugar a valores no físicos, como densidades negativas. Además, estas oscilaciones pueden comprometer la solución global del modelo, provocando inestabilidades numéricas.
La discretización temporal de los términos de convección en los modelos no hidrostáticos también puede generar oscilaciones espurias. Los enfoques Euleriano-Lagrangiano, que incluyen los métodos Semilagrangiano y Lagrange-Galerkin, son ampliamente conocidos por permitir el uso de pasos de tiempo grandes sin comprometer la exactitud de la solución. No obstante, el esquema Semilagrangiano puede tener limitaciones a la hora de preservar la forma de las variables transportadas en presencia de gradientes bruscos, debido a la interpolación numérica que requiere este método.
Ante estas dificultades, la presente tesis se centra en el desarrollo de técnicas de estabilización para métodos Euleriano-Lagrangiano combinados con el elementos finitos de alto orden para la simulación numérica de un modelo oceánico no hidrostático. Se emplean los esquemas Lagrange-Galerkin y Semilagrangiano para la discretización temporal, junto con una discretización espacial continua de alto orden sobre mallados formados por elementos cuadriláteros, tanto estructurados como no estructurados. Además, se aplican técnicas de estabilización basadas en métodos de interpolación y de integración numérica para reducir las oscilaciones espurias. Una de las principales novedades de los métodos propuestos es la incorporación de estrategias de adaptación de malla, que permiten identificar las regiones afectadas por dichas oscilaciones y aplicar la estabilización de forma selectiva.
Los métodos propuestos se evalúan mediante problemas clásicos bidimensionales de convección-difusión, cuyas ecuaciones son análogas a las utilizadas en la conservación de salinidad y temperatura. Asimismo, el modelo oceánico no hidrostático se valida a través de resultados disponibles en la literatura de flujos estratificados en océanos y lagos. Los resultados numéricos obtenidos demuestran la eficacia de los métodos desarrollados, al lograr precisión de alto orden en regiones suaves y reducir significativamente las oscilaciones espurias en zonas con gradientes elevados, obteniendo soluciones numéricas estables y precisas para problemas de convección-difusión y flujos estratificados en océanos y lagos. Read More
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