The study of vibrations in turbomachinery is complex but important to optimize design and estimate component life. In recent years, blades have become more slender to increase efficiency, making them more prone to flutteran aeroelastic instability where blade motion induces aerodynamic forces that can inject energy into the structure. This causes exponential growth in the response, unless counteracted by other effects such as nonlinear friction, which can balance this instability producing limit cycle oscillations. These systems are also subjected to forced response, arising from aerodynamic forces generated by stator vane wakes upstream of the rotor. Depending on the excitation frequency, the response can be amplified. Nonlinear friction couples forced response and flutter, leading to complicated vibration states.
Several methodologies have been used to analyze the behavior of these systems. Time-domain simulations typically require long integration times to capture nonlinear effects, whereas harmonic balance methods offer an alternative by assuming periodic response and transforming the differential equations into a nonlinear algebraic system. Asymptotic methods have been introduced recently in this field, which exploit the large timescale separation between the oscillations with the natural frequency of the system and the slow envelope due to friction and the aerodynamic instability. As a result, a reduced model accurate in the specific physical regime of interest is obtained, without assuming a particular response type.
This dissertation focuses on the analysis of the nonlinear vibrations of a tuned bladed-disk from a low-pressure turbine using asymptotic techniques. Considering a simplified mass-spring model, the interaction of flutter and friction is studied. Asymptotic equations are derived on the slow timescale where these effects are relevant, and a stability analysis through numerical continuation of the solutions is performed for different levels of the aerodynamic instability. Results show that, for an unstable rotor, single traveling wave (TW) solutions emerge in which friction compensates instability, forming bounded limit cycles. Multi-TW states can arise near stability changes of single-TW solutions.
The analysis is extended to the interaction of flutter and forced response. Results show a nonlinear switching between forced responsewhere the blades oscillate with the forcing frequencyand flutter. Near the resonance peak, the system follows the excited TW locked to the forcing frequency. Moving away from resonance, the forced response solution loses stability and new branches of solutions emerge. The oscillations associated to these states contain the flutter and forcing frequencies, eventually leading to pure flutter saturated states far enough from the resonance. A new class of solutions is found at the resonance, where the response is synchronous with the forcing but involves two TWs: the excited one, which has to be stable, and an unstable mode. This corresponds to a configuration with blades vibrating at different amplitude levels, despite the rotor being tuned. All these states are also recovered analyzing a realistic bladed-disk.
The next part of the thesis extends the asymptotic formulation to high-fidelity FEM. The derived model applies to systems where the motion of the contact interfaces is small relative to the overall structure. The full FEM equations are reduced to a single complex differential equation describing the dynamics near resonance. Nonlinear friction is encoded in a single function describing contact conditions such as stick, slip, or gap.
Finally, the methodology is expanded to study interaction between two modes with different mode shapes and friction cycles. It is found that their linear superposition significantly overestimates the response, since activating both modes increases the global nonlinear dissipation.
RESUMEN
El estudio de las vibraciones en turbomaquinaria es importante para optimizar el diseño y estimar la vida de los componentes. En los últimos años, el diseño de los álabes tiende a geometrías más esbeltas para aumentar su eficiencia, haciéndolos más propensos al flameo, una inestabilidad aeroelástica en la que el movimiento del álabe induce fuerzas aerodinámicas que pueden inyectar energía en la estructura. Esto conllevaría un aumento exponencial de la amplitud de oscilación a menos que sea contrarrestado por otros efectos como la fricción no lineal. Además, estas estructuras pueden experimentar respuesta forzada como consecuencia de las fuerzas aerodinámicas generadas por los estelas de los álabes del estator situados aguas arriba del rotor.
Diversas estrategias se han utilizado para analizar el comportamiento de estas estructuras. Las simulaciones en el dominio temporal requieren integración a lo largo de muchos ciclos para capturar los efectos no lineales. Los métodos de harmonic balance son una alternativa en la que se asume una respuesta periódica y se transforman las ecuaciones en un sistema algebraico no lineal. Los métodos asintóticos, introducidos recientemente en este contexto, explotan la separación de escalas temporales entre las oscilaciones con la frecuencia modal y la evolución lenta debida a la fricción, resultando en un modelo reducido preciso en la situación física de interés.
Esta tesis analiza las vibraciones no lineales de un sistema álabe-disco con álabes idénticos utilizando técnicas asintóticas. Considerando un modelo simplificado de masas y muelles, se estudia la interacción entre flameo y fricción. Se obtienen las ecuaciones asintóticas y se realiza un análisis de estabilidad a través de continuación numérica de sus soluciones para diferentes niveles de la inestabilidad aerodinámica. Los resultados muestran que, para un rotor inestable, aparecen soluciones formadas por una traveling wave (TW) donde la fricción compensa la inestabilidad (ciclos límite). También pueden aparecer soluciones multi-TW cerca de cambios de estabilidad de los estados de una TW.
El análisis se extiende a la interacción entre flameo y respuesta forzada provocada por la fricción no lineal. Los resultados muestran una alternancia no lineal entre la respuesta forzadadonde los álabes oscilan con la frecuencia de excitacióny el flameo. Cerca del pico de resonancia, el sistema responde con la TW excitada a la frecuencia del forzamiento. Lejos de la resonancia, este estado pierde estabilidad y las soluciones de flameo emergen. Aparecen estados de dos frecuencias donde interactúan las frecuencias de flameo y forzamiento, que eventualmente conducen a soluciones saturadas de flameo suficientemente lejos de la resonancia. Además, aparece una nueva clase de soluciones en la resonancia donde la respuesta es sincrónica con el forzamiento, pero involucra dos TW: la excitada, que debe ser estable, y una inestable. Esto corresponde a una configuración donde los álabes vibran con amplitudes diferentes, a pesar de que todos los sectores son idénticos. Todos estos estados también se obtienen en un modelo realista.
La siguiente parte de la tesis extiende la formulación asintótica a modelos de elementos finitos. La derivación del modelo asintótico se aplica a sistemas donde el movimiento de los contactos es pequeño en comparación con la estructura. Las ecuaciones completas de la estructura se reducen a una sola ecuación diferencial compleja que describe la dinámica cerca de la resonancia. La fricción no lineal se encapsula en una única función que describe las condiciones de contacto, como deslizamiento o separación.
Finalmente, se amplía la metodología para estudiar la interacción entre dos modos con diferentes formas modales y ciclos de fricción. Los resultados muestran que su superposición lineal sobreestima significativamente la respuesta, ya que la activación simultánea de ambos modos incrementa la disipación no lineal global.
The study of vibrations in turbomachinery is complex but important to optimize design and estimate component life. In recent years, blades have become more slender to increase efficiency, making them more prone to flutteran aeroelastic instability where blade motion induces aerodynamic forces that can inject energy into the structure. This causes exponential growth in the response, unless counteracted by other effects such as nonlinear friction, which can balance this instability producing limit cycle oscillations. These systems are also subjected to forced response, arising from aerodynamic forces generated by stator vane wakes upstream of the rotor. Depending on the excitation frequency, the response can be amplified. Nonlinear friction couples forced response and flutter, leading to complicated vibration states.
Several methodologies have been used to analyze the behavior of these systems. Time-domain simulations typically require long integration times to capture nonlinear effects, whereas harmonic balance methods offer an alternative by assuming periodic response and transforming the differential equations into a nonlinear algebraic system. Asymptotic methods have been introduced recently in this field, which exploit the large timescale separation between the oscillations with the natural frequency of the system and the slow envelope due to friction and the aerodynamic instability. As a result, a reduced model accurate in the specific physical regime of interest is obtained, without assuming a particular response type.
This dissertation focuses on the analysis of the nonlinear vibrations of a tuned bladed-disk from a low-pressure turbine using asymptotic techniques. Considering a simplified mass-spring model, the interaction of flutter and friction is studied. Asymptotic equations are derived on the slow timescale where these effects are relevant, and a stability analysis through numerical continuation of the solutions is performed for different levels of the aerodynamic instability. Results show that, for an unstable rotor, single traveling wave (TW) solutions emerge in which friction compensates instability, forming bounded limit cycles. Multi-TW states can arise near stability changes of single-TW solutions.
The analysis is extended to the interaction of flutter and forced response. Results show a nonlinear switching between forced responsewhere the blades oscillate with the forcing frequencyand flutter. Near the resonance peak, the system follows the excited TW locked to the forcing frequency. Moving away from resonance, the forced response solution loses stability and new branches of solutions emerge. The oscillations associated to these states contain the flutter and forcing frequencies, eventually leading to pure flutter saturated states far enough from the resonance. A new class of solutions is found at the resonance, where the response is synchronous with the forcing but involves two TWs: the excited one, which has to be stable, and an unstable mode. This corresponds to a configuration with blades vibrating at different amplitude levels, despite the rotor being tuned. All these states are also recovered analyzing a realistic bladed-disk.
The next part of the thesis extends the asymptotic formulation to high-fidelity FEM. The derived model applies to systems where the motion of the contact interfaces is small relative to the overall structure. The full FEM equations are reduced to a single complex differential equation describing the dynamics near resonance. Nonlinear friction is encoded in a single function describing contact conditions such as stick, slip, or gap.
Finally, the methodology is expanded to study interaction between two modes with different mode shapes and friction cycles. It is found that their linear superposition significantly overestimates the response, since activating both modes increases the global nonlinear dissipation.
RESUMEN
El estudio de las vibraciones en turbomaquinaria es importante para optimizar el diseño y estimar la vida de los componentes. En los últimos años, el diseño de los álabes tiende a geometrías más esbeltas para aumentar su eficiencia, haciéndolos más propensos al flameo, una inestabilidad aeroelástica en la que el movimiento del álabe induce fuerzas aerodinámicas que pueden inyectar energía en la estructura. Esto conllevaría un aumento exponencial de la amplitud de oscilación a menos que sea contrarrestado por otros efectos como la fricción no lineal. Además, estas estructuras pueden experimentar respuesta forzada como consecuencia de las fuerzas aerodinámicas generadas por los estelas de los álabes del estator situados aguas arriba del rotor.
Diversas estrategias se han utilizado para analizar el comportamiento de estas estructuras. Las simulaciones en el dominio temporal requieren integración a lo largo de muchos ciclos para capturar los efectos no lineales. Los métodos de harmonic balance son una alternativa en la que se asume una respuesta periódica y se transforman las ecuaciones en un sistema algebraico no lineal. Los métodos asintóticos, introducidos recientemente en este contexto, explotan la separación de escalas temporales entre las oscilaciones con la frecuencia modal y la evolución lenta debida a la fricción, resultando en un modelo reducido preciso en la situación física de interés.
Esta tesis analiza las vibraciones no lineales de un sistema álabe-disco con álabes idénticos utilizando técnicas asintóticas. Considerando un modelo simplificado de masas y muelles, se estudia la interacción entre flameo y fricción. Se obtienen las ecuaciones asintóticas y se realiza un análisis de estabilidad a través de continuación numérica de sus soluciones para diferentes niveles de la inestabilidad aerodinámica. Los resultados muestran que, para un rotor inestable, aparecen soluciones formadas por una traveling wave (TW) donde la fricción compensa la inestabilidad (ciclos límite). También pueden aparecer soluciones multi-TW cerca de cambios de estabilidad de los estados de una TW.
El análisis se extiende a la interacción entre flameo y respuesta forzada provocada por la fricción no lineal. Los resultados muestran una alternancia no lineal entre la respuesta forzadadonde los álabes oscilan con la frecuencia de excitacióny el flameo. Cerca del pico de resonancia, el sistema responde con la TW excitada a la frecuencia del forzamiento. Lejos de la resonancia, este estado pierde estabilidad y las soluciones de flameo emergen. Aparecen estados de dos frecuencias donde interactúan las frecuencias de flameo y forzamiento, que eventualmente conducen a soluciones saturadas de flameo suficientemente lejos de la resonancia. Además, aparece una nueva clase de soluciones en la resonancia donde la respuesta es sincrónica con el forzamiento, pero involucra dos TW: la excitada, que debe ser estable, y una inestable. Esto corresponde a una configuración donde los álabes vibran con amplitudes diferentes, a pesar de que todos los sectores son idénticos. Todos estos estados también se obtienen en un modelo realista.
La siguiente parte de la tesis extiende la formulación asintótica a modelos de elementos finitos. La derivación del modelo asintótico se aplica a sistemas donde el movimiento de los contactos es pequeño en comparación con la estructura. Las ecuaciones completas de la estructura se reducen a una sola ecuación diferencial compleja que describe la dinámica cerca de la resonancia. La fricción no lineal se encapsula en una única función que describe las condiciones de contacto, como deslizamiento o separación.
Finalmente, se amplía la metodología para estudiar la interacción entre dos modos con diferentes formas modales y ciclos de fricción. Los resultados muestran que su superposición lineal sobreestima significativamente la respuesta, ya que la activación simultánea de ambos modos incrementa la disipación no lineal global. Read More
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