Since the early 20th century there has been increasing interest in the mathematics and physics community to study and characterize the vehicular traffic as a physical system obeying predictable laws. Road traffic has been modelled either as a multi-particle system or as a continuous flow, resembling the features of well known physical systems amenable to be analyzed with existing mathematical techniques. A number of mathematical models have been proposed to represent the dynamics of vehicular traffic, predominantly the car-following models, which have been applied both to the inter-vehicles dynamics (microscopic modelling) and to the aggregated traffic process (macroscopic modelling). Even though these models accurately represent phenomena observed in real roads, like congestion and wave propagation, they are sometimes based on narrow assumptions that do not match the behaviour of real drivers and vehicles. On the other hand, the relevance of these models is specially important now that new communication technologies like 5G and V2X (Vehicle-to-Everything) are intended to be a key part of the future road infrastructure and will require stringent latency requirements so that the driving decisions are taken in a timely manner.
The mathematical models to be applied have to factor in some way the influence of this response time in the system equations. This has been traditionally achieved by introducing the delay as a sensitivity factor in standard (i.e. non retarded) ODEs or PDEs. Nevertheless, this may not be an adequate approach if one wants to understand the complexities induced in the solution space by explicit delays in the independent variable, which demands the application of the theory of Delay Differential Equations (DDEs). Moreover, in addition to the challenges introduced by reaction times, the interaction between vehicles and the environment can be quite complicated, resulting in differential equations that are strongly nonlinear. To adequately analyze these nonlinearities, most importantly the Hopf bifurcations frequently observed in these systems, another key mathematical tool has been the use of perturbation methods to calculate approximate solutions to the nonlinear delayed equations. One of the main contributions of this work is the introduction of new approaches of application of DDEs and perturbative methods in order to obtain results not available before.
Another important objective of this thesis is to provide a unified view of the traffic behaviour, starting from the individual vehicle up to the global traffic flow, linking the results of a finer scale with the results of a coarser one. To do this, an intermediate scale, the {mesoscale, is introduced in order to bridge the gap between the micro and macro scales. In this sense, the introduction of the Wirtinger calculus and the Complex Ginzburg-Landau formalism will be of particular importance in the study of this mesoscale, for which there were not previous existing results.
In summary, this thesis contains new methods of nonlinear analysis to study the instability that reaction times and communication delays introduce in the road traffic process. The research has been mostly focused on determining the limits of the reaction times inherent to the driver, vehicles and algorithms governing the driving decisions, and on quantifying the impact of these delays on the emergence of traffic oscillations and density waves at the different physical scales. It is worth noting that some of these methods can also be applied to other research fields, and some examples of this are provided in the text.
RESUMEN
Desde principios del siglo XX, la comunidad matemática y física ha mostrado un interés creciente en el estudio y la caracterización del tráfico vehicular como un sistema físico sujeto a leyes predecibles. El tráfico rodado ha sido modelado con frecuencia como un sistema de partículas o como un flujo continuo, con características similares a las de sistemas físicos bien conocidos, y por tanto susceptibles de ser analizados mediante técnicas matemáticas existentes. Distintos modelos se han propuesto para representar la dinámica del tráfico vehicular, entre los que destacan los modelos de seguimiento de vehículos, que se aplican tanto a la dinámica intervehicular (modelado microscópico) como al proceso de tráfico agregado (modelado macroscópico). A pesar de que estos modelos representan con cierta precisión fenómenos observados en entornos de tráfico reales, como la congestión y la propagación de ondas de tráfico, en ocasiones las premisas en las que se basan no se ajustan al comportamiento real de los conductores y vehículos. Por otro lado, la relevancia de estos modelos es especialmente significativa ahora que nuevas tecnologías de comunicación, como el 5G y V2X (Vehicle-to Everything), están destinadas a ser un componente clave de la infraestructura vial del futuro y requerirán estrictos requisitos de latencia para la toma de las decisiones en la conducción.
Los modelos matemáticos deben tener en cuenta la influencia de este tiempo de respuesta en las ecuaciones del sistema. Esto se ha logrado hasta ahora mediante la introducción del retardo como un factor de sensibilidad en EDOs o EDPs convencionales (no retardadas). No obstante, este enfoque no es el mejor si buscamos investigar la complejidad del espacio de soluciones que introducen los retardos en la variable independiente, que requiere aplicar la teoría de Ecuaciones Diferenciales con Retardo (DDEs). Además, la compleja interacción entre vehículos y el entorno puede estar definida por ecuaciones diferenciales altamente no lineales. Para analizar adecuadamente los efectos de estas no linealidades, como las bifurcaciones de tipo Hopf, otra técnica matemática esencial son los métodos perturbativos para calcular soluciones a las ecuaciones de no lineales con retardo. Una de las principales contribuciones de este trabajo es la introducción de nuevos enfoques de aplicación de las DDEs y métodos perturbativos para obtener resultados no disponibles previamente.
Por otra parte, otro objetivo importante de esta tesis es proporcionar una visión unificada del comportamiento del tráfico, desde la escala del vehículo individual hasta el flujo de tráfico global, vinculando los resultados de una escala más detallada con los resultados de una escala mayor. Para ello, se introduce una escala intermedia, la mesoescala, que sirve para relacionar coherentemente las escalas micro y macro. En este sentido, será de especial importancia el uso del cálculo de Wirtinger y el formalismo del Ginzburg-Landau Complejo en el estudio de esta mesoescala, algo no realizado anteriormente.
En resumen, esta tesis contiene nuevos métodos de análisis no lineal para estudiar la inestabilidad que pueden introducir los tiempos de reacción y los retrasos de información en el tráfico rodado. La investigación se ha centrado en determinar los límites tolerables en los tiempos de reacción debidos al conductor, los vehículos y los algoritmos que conducción asistida, y en cuantificar el impacto de estos retrasos en la formación de oscilaciones y ondas de densidad a las diferentes escalas. Cabe destacar que algunos de estos métodos son de aplicación en otros campos de investigación, y algunos ejemplos de esto se proporcionan en el texto.
Since the early 20th century there has been increasing interest in the mathematics and physics community to study and characterize the vehicular traffic as a physical system obeying predictable laws. Road traffic has been modelled either as a multi-particle system or as a continuous flow, resembling the features of well known physical systems amenable to be analyzed with existing mathematical techniques. A number of mathematical models have been proposed to represent the dynamics of vehicular traffic, predominantly the car-following models, which have been applied both to the inter-vehicles dynamics (microscopic modelling) and to the aggregated traffic process (macroscopic modelling). Even though these models accurately represent phenomena observed in real roads, like congestion and wave propagation, they are sometimes based on narrow assumptions that do not match the behaviour of real drivers and vehicles. On the other hand, the relevance of these models is specially important now that new communication technologies like 5G and V2X (Vehicle-to-Everything) are intended to be a key part of the future road infrastructure and will require stringent latency requirements so that the driving decisions are taken in a timely manner.
The mathematical models to be applied have to factor in some way the influence of this response time in the system equations. This has been traditionally achieved by introducing the delay as a sensitivity factor in standard (i.e. non retarded) ODEs or PDEs. Nevertheless, this may not be an adequate approach if one wants to understand the complexities induced in the solution space by explicit delays in the independent variable, which demands the application of the theory of Delay Differential Equations (DDEs). Moreover, in addition to the challenges introduced by reaction times, the interaction between vehicles and the environment can be quite complicated, resulting in differential equations that are strongly nonlinear. To adequately analyze these nonlinearities, most importantly the Hopf bifurcations frequently observed in these systems, another key mathematical tool has been the use of perturbation methods to calculate approximate solutions to the nonlinear delayed equations. One of the main contributions of this work is the introduction of new approaches of application of DDEs and perturbative methods in order to obtain results not available before.
Another important objective of this thesis is to provide a unified view of the traffic behaviour, starting from the individual vehicle up to the global traffic flow, linking the results of a finer scale with the results of a coarser one. To do this, an intermediate scale, the {mesoscale, is introduced in order to bridge the gap between the micro and macro scales. In this sense, the introduction of the Wirtinger calculus and the Complex Ginzburg-Landau formalism will be of particular importance in the study of this mesoscale, for which there were not previous existing results.
In summary, this thesis contains new methods of nonlinear analysis to study the instability that reaction times and communication delays introduce in the road traffic process. The research has been mostly focused on determining the limits of the reaction times inherent to the driver, vehicles and algorithms governing the driving decisions, and on quantifying the impact of these delays on the emergence of traffic oscillations and density waves at the different physical scales. It is worth noting that some of these methods can also be applied to other research fields, and some examples of this are provided in the text.
RESUMEN
Desde principios del siglo XX, la comunidad matemática y física ha mostrado un interés creciente en el estudio y la caracterización del tráfico vehicular como un sistema físico sujeto a leyes predecibles. El tráfico rodado ha sido modelado con frecuencia como un sistema de partículas o como un flujo continuo, con características similares a las de sistemas físicos bien conocidos, y por tanto susceptibles de ser analizados mediante técnicas matemáticas existentes. Distintos modelos se han propuesto para representar la dinámica del tráfico vehicular, entre los que destacan los modelos de seguimiento de vehículos, que se aplican tanto a la dinámica intervehicular (modelado microscópico) como al proceso de tráfico agregado (modelado macroscópico). A pesar de que estos modelos representan con cierta precisión fenómenos observados en entornos de tráfico reales, como la congestión y la propagación de ondas de tráfico, en ocasiones las premisas en las que se basan no se ajustan al comportamiento real de los conductores y vehículos. Por otro lado, la relevancia de estos modelos es especialmente significativa ahora que nuevas tecnologías de comunicación, como el 5G y V2X (Vehicle-to Everything), están destinadas a ser un componente clave de la infraestructura vial del futuro y requerirán estrictos requisitos de latencia para la toma de las decisiones en la conducción.
Los modelos matemáticos deben tener en cuenta la influencia de este tiempo de respuesta en las ecuaciones del sistema. Esto se ha logrado hasta ahora mediante la introducción del retardo como un factor de sensibilidad en EDOs o EDPs convencionales (no retardadas). No obstante, este enfoque no es el mejor si buscamos investigar la complejidad del espacio de soluciones que introducen los retardos en la variable independiente, que requiere aplicar la teoría de Ecuaciones Diferenciales con Retardo (DDEs). Además, la compleja interacción entre vehículos y el entorno puede estar definida por ecuaciones diferenciales altamente no lineales. Para analizar adecuadamente los efectos de estas no linealidades, como las bifurcaciones de tipo Hopf, otra técnica matemática esencial son los métodos perturbativos para calcular soluciones a las ecuaciones de no lineales con retardo. Una de las principales contribuciones de este trabajo es la introducción de nuevos enfoques de aplicación de las DDEs y métodos perturbativos para obtener resultados no disponibles previamente.
Por otra parte, otro objetivo importante de esta tesis es proporcionar una visión unificada del comportamiento del tráfico, desde la escala del vehículo individual hasta el flujo de tráfico global, vinculando los resultados de una escala más detallada con los resultados de una escala mayor. Para ello, se introduce una escala intermedia, la mesoescala, que sirve para relacionar coherentemente las escalas micro y macro. En este sentido, será de especial importancia el uso del cálculo de Wirtinger y el formalismo del Ginzburg-Landau Complejo en el estudio de esta mesoescala, algo no realizado anteriormente.
En resumen, esta tesis contiene nuevos métodos de análisis no lineal para estudiar la inestabilidad que pueden introducir los tiempos de reacción y los retrasos de información en el tráfico rodado. La investigación se ha centrado en determinar los límites tolerables en los tiempos de reacción debidos al conductor, los vehículos y los algoritmos que conducción asistida, y en cuantificar el impacto de estos retrasos en la formación de oscilaciones y ondas de densidad a las diferentes escalas. Cabe destacar que algunos de estos métodos son de aplicación en otros campos de investigación, y algunos ejemplos de esto se proporcionan en el texto. Read More
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