El estudio de los espacios de Sobolev con pesos es un tema de actualidad en el ámbito de la Teoría de Aproximación y polinomios ortogonales y con importantes aplicaciones numéricas. Este Trabajo Fin de Grado se enmarca en una investigación sobre la localización de los ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev con derivadas de primer orden. A diferencia del caso estándar, los ceros pueden salir de la envoltura convexa del soporte de la medida asociada. En el mismo se estudia el comportamiento del conjunto de ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev a partir de las matrices infinitas de momentos que definen productos escalares hilbertianos en los espacios de polinomios. El objetivo principal del trabajo es la utilización de algoritmos para el análisis y la visualización del conjunto de ceros de los polinomios para obtener resultados que arrojen luz sobre el problema de localización de estos conjuntos y la relación de los soportes con la estructura del producto de Sobolev. Para ello se ha desarrollado un marco teórico unificado, extendiendo la teoría clásica, analizando y explorando la conexión de la acotación de los ceros con parámetros espectrales como la norma del operador de multiplicación y los valores singulares de ciertas matrices asociadas. Durante el trabajo, el análisis teórico y la experimentación numérica han surgido algunas conjeturas y resultados que se enmarcan en una investigación en curso que constituyen una de las aportaciones principales.
ABSTRACT
The study of weighted Sobolev spaces is a current topic in Approximation Theory and orthogonal polynomials with important numerical applications. This Final Degree Project is part of research on the location of zeros of Sobolev orthogonal polynomials with first-order derivatives. Unlike the standard case, zeros can escape the convex hull of the measure’s support. This work studies the behavior of zero sets of Sobolev orthogonal polynomials based on infinite moment matrices that define Hilbertian inner products in polynomial spaces. The main objective is to use algorithms for analyzing and visualizing polynomial zero sets to obtain results that shed light on the localization problem of these sets and the relationship between supports and the Sobolev product structure. A unified theoretical framework has been developed, extending classical theory and exploring the connection between zero boundedness and spectral parameters such as the multiplication operator norm and singular values of certain associated matrices. Throughout this work, theoretical analysis and numerical experimentation have led to conjectures and results within ongoing research that constitute one of the main contributions.
El estudio de los espacios de Sobolev con pesos es un tema de actualidad en el ámbito de la Teoría de Aproximación y polinomios ortogonales y con importantes aplicaciones numéricas. Este Trabajo Fin de Grado se enmarca en una investigación sobre la localización de los ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev con derivadas de primer orden. A diferencia del caso estándar, los ceros pueden salir de la envoltura convexa del soporte de la medida asociada. En el mismo se estudia el comportamiento del conjunto de ceros de los polinomios ortogonales de Sobolev a partir de las matrices infinitas de momentos que definen productos escalares hilbertianos en los espacios de polinomios. El objetivo principal del trabajo es la utilización de algoritmos para el análisis y la visualización del conjunto de ceros de los polinomios para obtener resultados que arrojen luz sobre el problema de localización de estos conjuntos y la relación de los soportes con la estructura del producto de Sobolev. Para ello se ha desarrollado un marco teórico unificado, extendiendo la teoría clásica, analizando y explorando la conexión de la acotación de los ceros con parámetros espectrales como la norma del operador de multiplicación y los valores singulares de ciertas matrices asociadas. Durante el trabajo, el análisis teórico y la experimentación numérica han surgido algunas conjeturas y resultados que se enmarcan en una investigación en curso que constituyen una de las aportaciones principales.
ABSTRACT
The study of weighted Sobolev spaces is a current topic in Approximation Theory and orthogonal polynomials with important numerical applications. This Final Degree Project is part of research on the location of zeros of Sobolev orthogonal polynomials with first-order derivatives. Unlike the standard case, zeros can escape the convex hull of the measure’s support. This work studies the behavior of zero sets of Sobolev orthogonal polynomials based on infinite moment matrices that define Hilbertian inner products in polynomial spaces. The main objective is to use algorithms for analyzing and visualizing polynomial zero sets to obtain results that shed light on the localization problem of these sets and the relationship between supports and the Sobolev product structure. A unified theoretical framework has been developed, extending classical theory and exploring the connection between zero boundedness and spectral parameters such as the multiplication operator norm and singular values of certain associated matrices. Throughout this work, theoretical analysis and numerical experimentation have led to conjectures and results within ongoing research that constitute one of the main contributions. Read More
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