La teoría de nudos es una rama de la topología que estudia un tipo específico de objeto matemático denominado nudo. Un nudo se asemeja a los que encontramos en nuestra vida cotidiana, pero con los extremos unidos, de modo que puede representarse como una curva simple y cerrada en R 3. Un aspecto fundamental de esta rama es determinar si dos nudos son equivalentes, es decir, se estudia si se puede deformar uno en el otro de manera continua sin pasar sobre sí mismo. Resolver este problema no es sencillo, y se aborda mediante el estudio de las invariantes de cada nudo para poder diferenciarlos. Dos invariantes importantes en este sentido e íntimamente relacionados son el grupo del nudo y el polinomio de Alexander. El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es estudiar e investigar la teoría de nudos, especialmente el grupo del nudo y el polinomio de Alexander, e implementar los algoritmos en Python para calcular las presentaciones de cada uno de ellos.
ABSTRACT
Knot theory is a branch of topology that studies a specific type of mathematical object called a knot. A knot resembles those we encounter in daily life but with the ends joined together, so it can be represented as a simple closed curve in R 3. A fundamental aspect of this branch is determining whether two knots are equivalent, meaning the study focuses on whether one can be deformed into the other continuously without crossing itself. Solving this problem is not straightforward and is approached through the study of knot invariants to differentiate them. Two important and closely related invariants in this context are the knot group and the Alexander polynomial. The aim of this Final Degree Project is to study and research knot theory, particularly the knot group and the Alexander polynomial, and to implement algorithms in Python to compute the presentations of each.
La teoría de nudos es una rama de la topología que estudia un tipo específico de objeto matemático denominado nudo. Un nudo se asemeja a los que encontramos en nuestra vida cotidiana, pero con los extremos unidos, de modo que puede representarse como una curva simple y cerrada en R 3. Un aspecto fundamental de esta rama es determinar si dos nudos son equivalentes, es decir, se estudia si se puede deformar uno en el otro de manera continua sin pasar sobre sí mismo. Resolver este problema no es sencillo, y se aborda mediante el estudio de las invariantes de cada nudo para poder diferenciarlos. Dos invariantes importantes en este sentido e íntimamente relacionados son el grupo del nudo y el polinomio de Alexander. El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es estudiar e investigar la teoría de nudos, especialmente el grupo del nudo y el polinomio de Alexander, e implementar los algoritmos en Python para calcular las presentaciones de cada uno de ellos.
ABSTRACT
Knot theory is a branch of topology that studies a specific type of mathematical object called a knot. A knot resembles those we encounter in daily life but with the ends joined together, so it can be represented as a simple closed curve in R 3. A fundamental aspect of this branch is determining whether two knots are equivalent, meaning the study focuses on whether one can be deformed into the other continuously without crossing itself. Solving this problem is not straightforward and is approached through the study of knot invariants to differentiate them. Two important and closely related invariants in this context are the knot group and the Alexander polynomial. The aim of this Final Degree Project is to study and research knot theory, particularly the knot group and the Alexander polynomial, and to implement algorithms in Python to compute the presentations of each. Read More
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