Las pandemias han tenido un gran impacto en la humanidad, impulsando el desarrollo de modelos epidemiológicos que permiten comprender la propagación de enfermedades y diseñar estrategias de control más eficaces. La epidemiología estudia la frecuencia, distribución y factores asociados a las enfermedades en poblaciones humanas, mientras que su rama matemática combina herramientas como ecuaciones diferenciales, probabilidad y estadística para simular su dinámica. Puesto que los recursos son limitados, los modelos actuales incorporan restricciones económicas y logísticas, convirtiéndolos en una herramienta clave para planificar medidas de prevención.
En este trabajo se utiliza el modelo SIRU, por ser el que mejor se adapta a la dinámica de la COVID-19, empleando datos reales de la primera ola de la epidemia en la Comunidad de Madrid. Se trabajan dos modelos en los que se integra la intervención de la vacunación: un modelo con población homogénea y otro estructurado en grupos de edad. Mientras que en gran parte de la literatura se trabaja con poblaciones homogéneas, aquí la estructuración por edades permite asignar tasas unitarias de vacunación selectivas por grupo de edad y aproximarse de forma más realista a la dinámica de la epidemia. A partir de aquí se estudian dos estrategias distintas: cuando la tasa unitaria de vacunación es constante, el problema se plantea como un problema clásico de optimización, mientras que al permitir que dicha tasa varíe en el tiempo se formula como un problema de control óptimo. Al comparar estas dos estrategias, es posible cuantificar la magnitud de la mejora en la propagación de la epidemia que se obtiene al dar mayor flexibilidad a la vacunación.
El trabajo se puede dividir en las siguientes secciones:
Sección 1: Fundamentos teóricos e introducción al modelo SIRS. El punto de partida para comprender la dinámica de una epidemia es el uso de modelos matemáticos sencillos. Entre ellos, uno de los más básicos y habituales en epidemiología es el modelo SIRS, que divide a la población en tres compartimentos: susceptibles, infectados y recuperados. A diferencia de otros modelos, el SIRS incluye la posibilidad de que los individuos recuperados pierdan con el tiempo la inmunidad adquirida y vuelvan a ser susceptibles. Una de las ideas centrales que se extraen del modelo SIRS es el papel del número de reproducción básico R′. Este valor indica el número medio de contagios que provoca un individuo infectado en una población completamente susceptible. Si R′, la enfermedad desaparece con el tiempo, mientras que si R′, se establece un equilibrio endémico en el que la infección se mantiene de manera persistente en la población.
Sección 2: Modelo SIRU con vacunación en población homogénea. Tras haber presentado el modelo epidemiológico SIRS como referencia, se introduce el modelo SIRU con vacunación en una población homogénea. Este modelo ha demostrado adaptarse especialmente bien a la dinámica de la COVID-19, ya que distingue entre casos reportados y no reportados, un aspecto clave en esta enfermedad. La población se divide en cinco compartimentos: susceptibles S(t), individuos en fase inicial de infección I(t), infectados reportados R(t), infectados no reportados U (t) y eliminados E(t). Además, se incluye un término de vacunación que permite analizar el efecto de esta medida en la evolución de la epidemia. Gestión óptima de la vacunación. Una vez planteado el modelo SIRU con vacunación, se aborda el problema de diseñar una estrategia óptima considerando una tasa de vacunación unitaria constante α. Para ello, se define una función de coste que combina dos componentes: el impacto sanitario de la epidemia y el esfuerzo asociado a la vacunación.
Sección 3: Modelo SIRU con vacunación con estructura de edad. Tras el estudio del caso homogéneo, se introduce un modelo SIRU estructurado en cuatro grupos de edad: 0–2 años, 3–17 años, 18–59 años y 60+ años, siguiendo una clasificación propuesta en la literatura. De este modo, ya no se trabaja con variables escalares, sino con vectores, donde cada componente representa la evolución del grupo de edad correspondiente. Además, este planteamiento permite que la tasa de vacunación αi sea selectiva para cada clase de edad en vez de ser homogénea para toda la población.Análisis del papel de los grupos de edad en la propagación. A continuación se ha decidido estudiar la dinámica de la infección considerando grupos de edad mediante dos enfoques. El primero, basado en la incidencia relativa, calcula el número de infecciones que cada grupo genera sobre el resto en proporción a su tamaño poblacional, y arroja como resultado que los jóvenes (3–17 años) y los adultos (18–59 años) son los principales transmisores debido a su mayor nivel de contacto social. El segundo se apoya en la matriz de próxima generación, que indica cuántos contagios genera un infectado de un grupo concreto en los demás. A partir de un análisis basado en las propiedades de la matriz de próxima generación, se puede estimar cómo se reparten las nuevas infecciones al inicio de la epidemia. Los resultados muestran que los adultos jóvenes (18–59) son los más afectados, mientras que los menores de 3 años y los mayores de 60 tienen un peso reducido en la transmisión.Además, se estudian distintos escenarios modificando los coeficientes βij para simular cambios en los patrones de interacción social. En general, la reducción de contactos en los grupos más activos atenúa la propagación. Los escenarios focalizados sobre pares de grupos muestran un efecto positivo más claro, destacando la reducción de interacciones entre adultos (18–59) y mayores (60+), que resulta especialmente beneficiosa para proteger a la población vulnerable. En contraste, las intervenciones aplicadas únicamente a grupos específicos presentan un impacto más limitado, con reducciones parciales de la prevalencia endémica.Gestión óptima de la vacunación. En el modelo con clases de edad también se ha estudiado la gestión óptima de la vacunación. Para ello se ha definido una función de coste que combina el impacto sanitario con los costes de vacunación. En este caso, el control ya no es un escalar, sino un vector de cuatro componentes, α = (α1, α2, α3, α4), donde cada componente representa la tasa unitaria de vacunación aplicada a un grupo de edad distinto.La minimización de esta función de coste se lleva a cabo en MATLAB mediante la función fmincon, imponiendo además una restricción logística que limita la capacidad de vacunación semanal a un máximo de 200,000 dosis, estimado a partir del número máximo diario de vacunas administradas durante la campaña en la Comunidad de Madrid. En todos los casos estudiados, las estrategias óptimas mantienen el mismo orden de prioridad: se asignan más dosis a los adultos mayores (60+) y a los jóvenes en edad escolar (3–17), una cantidad intermedia al grupo de adultos (18–59), mientras que al grupo de 0–2 años apenas recibe vacunación.El análisis de sensibilidad respecto al parámetro p, que mide el peso relativo de los costes sanitarios frente a los económicos, muestra que cuanto mayor es su valor, mayor es la tasa unitaria óptima de vacunación en todos los grupos, aunque sin alterar el orden de prioridades. Por el contrario, cuando p es pequeño la tasa unitaria de vacunación óptima disminuye. Se observa además que a partir de un cierto valor p⋆ deja de tener sentido seguir aumentándolo, ya que las tasas de vacunación se saturan al alcanzar el límite semanal impuesto por la restricción logística.
Sección 4: Aplicación del control óptimo a la vacunación. Hasta ahora se ha trabajado suponiendo que la tasa unitaria de vacunación α es constante. El objetivo en esta última parte es estudiar cómo se modifica el problema cuando se permite que dicha tasa varíe en el tiempo. En este caso, el planteamiento deja de ser un problema clásico de minimización y pasa a formularse como un problema de control óptimo.Para ello se introduce la teoría del control óptimo, aplicando el Principio del Máximo de Pontryagin, que establece las condiciones necesarias de optimalidad. La resolución numérica se lleva a cabo mediante el Forward–Backward Sweep Method (FBSM), que combina la integración hacia adelante de las ecuaciones de estado con la integración hacia atrás de las denominadas ecuaciones adjuntas hasta alcanzar la trayectoria óptima de vacunación. Este procedimiento se aplica primero al modelo homogéneo y después al modelo estructurado por clases de edad, lo que permite comparar las estrategias de vacunación en ambos casos.Control óptimo en el modelo SIRU homogéneo. Primero se aplica el control óptimo al modelo SIRU con vacunación en población homogénea, donde la tasa de vacunación se modela mediante una función α(t). Así, el esfuerzo de vacunación se distribuye en el tiempo de forma más eficiente que en el caso constante, lo que conduce a una reducción de la propagación de la enfermedad, tal y como cabía esperar al dar al modelo mayor flexibilidad.Control óptimo en el modelo SIRU con clases de edad. Después se aplica el control óptimo al modelo SIRU estructurado en clases de edad. En este caso, la tasa de vacunación se representa como un vector de controles α = (α1(t), α2(t), α3(t), α4(t)), que puede variar dinámicamente para cada grupo. Los resultados confirman, como era de esperar, que la estrategia cuando αi varía en el tiempo mejora frente al caso con tasa constante. La aportación principal de este enfoque es que permite cuantificar la magnitud de dicha mejora, mostrando cómo la distribución dinámica de las vacunas reduce tanto los infectados por grupo como la prevalencia total de la epidemia. Un aspecto importante es que la prioridad entre los grupos cambia respecto a la estrategia óptima de vacunación con tasa constante: mientras que allí se favorecía sobre todo a mayores de 60 y a jóvenes en edad escolar, con el control óptimo en ciertos momentos se asignan más recursos al grupo de adultos (18–59), ya que es el que más contribuye a la transmisión. Esto pone de manifiesto que la estrategia de vacunación a seguir y la prioridad que se le da a cada grupo de edad puede diferir considerablemente si consideramos que la tasa unitaria de vacunación es constante o por el contrario, permitimos que varíe con el tiempo.
Como conclusión, este trabajo muestra que la incorporación de la estructura de edad en los modelos epidemiológicos proporciona una representación más realista de la propagación y permite diseñar estrategias de vacunación diferenciadas según los grupos de la población. Asimismo, la comparación entre una tasa de vacunación constante y otra dependiente del tiempo pone de manifiesto y cuantifica la mejora que se obtiene al considerar estrategias más flexibles, lo que aporta un valor añadido al análisis y puede servir de apoyo en la planificación de futuras campañas de vacunación.
Las pandemias han tenido un gran impacto en la humanidad, impulsando el desarrollo de modelos epidemiológicos que permiten comprender la propagación de enfermedades y diseñar estrategias de control más eficaces. La epidemiología estudia la frecuencia, distribución y factores asociados a las enfermedades en poblaciones humanas, mientras que su rama matemática combina herramientas como ecuaciones diferenciales, probabilidad y estadística para simular su dinámica. Puesto que los recursos son limitados, los modelos actuales incorporan restricciones económicas y logísticas, convirtiéndolos en una herramienta clave para planificar medidas de prevención.
En este trabajo se utiliza el modelo SIRU, por ser el que mejor se adapta a la dinámica de la COVID-19, empleando datos reales de la primera ola de la epidemia en la Comunidad de Madrid. Se trabajan dos modelos en los que se integra la intervención de la vacunación: un modelo con población homogénea y otro estructurado en grupos de edad. Mientras que en gran parte de la literatura se trabaja con poblaciones homogéneas, aquí la estructuración por edades permite asignar tasas unitarias de vacunación selectivas por grupo de edad y aproximarse de forma más realista a la dinámica de la epidemia. A partir de aquí se estudian dos estrategias distintas: cuando la tasa unitaria de vacunación es constante, el problema se plantea como un problema clásico de optimización, mientras que al permitir que dicha tasa varíe en el tiempo se formula como un problema de control óptimo. Al comparar estas dos estrategias, es posible cuantificar la magnitud de la mejora en la propagación de la epidemia que se obtiene al dar mayor flexibilidad a la vacunación.
El trabajo se puede dividir en las siguientes secciones:
Sección 1: Fundamentos teóricos e introducción al modelo SIRS. El punto de partida para comprender la dinámica de una epidemia es el uso de modelos matemáticos sencillos. Entre ellos, uno de los más básicos y habituales en epidemiología es el modelo SIRS, que divide a la población en tres compartimentos: susceptibles, infectados y recuperados. A diferencia de otros modelos, el SIRS incluye la posibilidad de que los individuos recuperados pierdan con el tiempo la inmunidad adquirida y vuelvan a ser susceptibles. Una de las ideas centrales que se extraen del modelo SIRS es el papel del número de reproducción básico R′. Este valor indica el número medio de contagios que provoca un individuo infectado en una población completamente susceptible. Si R′, la enfermedad desaparece con el tiempo, mientras que si R′, se establece un equilibrio endémico en el que la infección se mantiene de manera persistente en la población.
Sección 2: Modelo SIRU con vacunación en población homogénea. Tras haber presentado el modelo epidemiológico SIRS como referencia, se introduce el modelo SIRU con vacunación en una población homogénea. Este modelo ha demostrado adaptarse especialmente bien a la dinámica de la COVID-19, ya que distingue entre casos reportados y no reportados, un aspecto clave en esta enfermedad. La población se divide en cinco compartimentos: susceptibles S(t), individuos en fase inicial de infección I(t), infectados reportados R(t), infectados no reportados U (t) y eliminados E(t). Además, se incluye un término de vacunación que permite analizar el efecto de esta medida en la evolución de la epidemia. Gestión óptima de la vacunación. Una vez planteado el modelo SIRU con vacunación, se aborda el problema de diseñar una estrategia óptima considerando una tasa de vacunación unitaria constante α. Para ello, se define una función de coste que combina dos componentes: el impacto sanitario de la epidemia y el esfuerzo asociado a la vacunación.
Sección 3: Modelo SIRU con vacunación con estructura de edad. Tras el estudio del caso homogéneo, se introduce un modelo SIRU estructurado en cuatro grupos de edad: 0–2 años, 3–17 años, 18–59 años y 60+ años, siguiendo una clasificación propuesta en la literatura. De este modo, ya no se trabaja con variables escalares, sino con vectores, donde cada componente representa la evolución del grupo de edad correspondiente. Además, este planteamiento permite que la tasa de vacunación αi sea selectiva para cada clase de edad en vez de ser homogénea para toda la población.Análisis del papel de los grupos de edad en la propagación. A continuación se ha decidido estudiar la dinámica de la infección considerando grupos de edad mediante dos enfoques. El primero, basado en la incidencia relativa, calcula el número de infecciones que cada grupo genera sobre el resto en proporción a su tamaño poblacional, y arroja como resultado que los jóvenes (3–17 años) y los adultos (18–59 años) son los principales transmisores debido a su mayor nivel de contacto social. El segundo se apoya en la matriz de próxima generación, que indica cuántos contagios genera un infectado de un grupo concreto en los demás. A partir de un análisis basado en las propiedades de la matriz de próxima generación, se puede estimar cómo se reparten las nuevas infecciones al inicio de la epidemia. Los resultados muestran que los adultos jóvenes (18–59) son los más afectados, mientras que los menores de 3 años y los mayores de 60 tienen un peso reducido en la transmisión.Además, se estudian distintos escenarios modificando los coeficientes βij para simular cambios en los patrones de interacción social. En general, la reducción de contactos en los grupos más activos atenúa la propagación. Los escenarios focalizados sobre pares de grupos muestran un efecto positivo más claro, destacando la reducción de interacciones entre adultos (18–59) y mayores (60+), que resulta especialmente beneficiosa para proteger a la población vulnerable. En contraste, las intervenciones aplicadas únicamente a grupos específicos presentan un impacto más limitado, con reducciones parciales de la prevalencia endémica.Gestión óptima de la vacunación. En el modelo con clases de edad también se ha estudiado la gestión óptima de la vacunación. Para ello se ha definido una función de coste que combina el impacto sanitario con los costes de vacunación. En este caso, el control ya no es un escalar, sino un vector de cuatro componentes, α = (α1, α2, α3, α4), donde cada componente representa la tasa unitaria de vacunación aplicada a un grupo de edad distinto.La minimización de esta función de coste se lleva a cabo en MATLAB mediante la función fmincon, imponiendo además una restricción logística que limita la capacidad de vacunación semanal a un máximo de 200,000 dosis, estimado a partir del número máximo diario de vacunas administradas durante la campaña en la Comunidad de Madrid. En todos los casos estudiados, las estrategias óptimas mantienen el mismo orden de prioridad: se asignan más dosis a los adultos mayores (60+) y a los jóvenes en edad escolar (3–17), una cantidad intermedia al grupo de adultos (18–59), mientras que al grupo de 0–2 años apenas recibe vacunación.El análisis de sensibilidad respecto al parámetro p, que mide el peso relativo de los costes sanitarios frente a los económicos, muestra que cuanto mayor es su valor, mayor es la tasa unitaria óptima de vacunación en todos los grupos, aunque sin alterar el orden de prioridades. Por el contrario, cuando p es pequeño la tasa unitaria de vacunación óptima disminuye. Se observa además que a partir de un cierto valor p⋆ deja de tener sentido seguir aumentándolo, ya que las tasas de vacunación se saturan al alcanzar el límite semanal impuesto por la restricción logística.
Sección 4: Aplicación del control óptimo a la vacunación. Hasta ahora se ha trabajado suponiendo que la tasa unitaria de vacunación α es constante. El objetivo en esta última parte es estudiar cómo se modifica el problema cuando se permite que dicha tasa varíe en el tiempo. En este caso, el planteamiento deja de ser un problema clásico de minimización y pasa a formularse como un problema de control óptimo.Para ello se introduce la teoría del control óptimo, aplicando el Principio del Máximo de Pontryagin, que establece las condiciones necesarias de optimalidad. La resolución numérica se lleva a cabo mediante el Forward–Backward Sweep Method (FBSM), que combina la integración hacia adelante de las ecuaciones de estado con la integración hacia atrás de las denominadas ecuaciones adjuntas hasta alcanzar la trayectoria óptima de vacunación. Este procedimiento se aplica primero al modelo homogéneo y después al modelo estructurado por clases de edad, lo que permite comparar las estrategias de vacunación en ambos casos.Control óptimo en el modelo SIRU homogéneo. Primero se aplica el control óptimo al modelo SIRU con vacunación en población homogénea, donde la tasa de vacunación se modela mediante una función α(t). Así, el esfuerzo de vacunación se distribuye en el tiempo de forma más eficiente que en el caso constante, lo que conduce a una reducción de la propagación de la enfermedad, tal y como cabía esperar al dar al modelo mayor flexibilidad.Control óptimo en el modelo SIRU con clases de edad. Después se aplica el control óptimo al modelo SIRU estructurado en clases de edad. En este caso, la tasa de vacunación se representa como un vector de controles α = (α1(t), α2(t), α3(t), α4(t)), que puede variar dinámicamente para cada grupo. Los resultados confirman, como era de esperar, que la estrategia cuando αi varía en el tiempo mejora frente al caso con tasa constante. La aportación principal de este enfoque es que permite cuantificar la magnitud de dicha mejora, mostrando cómo la distribución dinámica de las vacunas reduce tanto los infectados por grupo como la prevalencia total de la epidemia. Un aspecto importante es que la prioridad entre los grupos cambia respecto a la estrategia óptima de vacunación con tasa constante: mientras que allí se favorecía sobre todo a mayores de 60 y a jóvenes en edad escolar, con el control óptimo en ciertos momentos se asignan más recursos al grupo de adultos (18–59), ya que es el que más contribuye a la transmisión. Esto pone de manifiesto que la estrategia de vacunación a seguir y la prioridad que se le da a cada grupo de edad puede diferir considerablemente si consideramos que la tasa unitaria de vacunación es constante o por el contrario, permitimos que varíe con el tiempo.
Como conclusión, este trabajo muestra que la incorporación de la estructura de edad en los modelos epidemiológicos proporciona una representación más realista de la propagación y permite diseñar estrategias de vacunación diferenciadas según los grupos de la población. Asimismo, la comparación entre una tasa de vacunación constante y otra dependiente del tiempo pone de manifiesto y cuantifica la mejora que se obtiene al considerar estrategias más flexibles, lo que aporta un valor añadido al análisis y puede servir de apoyo en la planificación de futuras campañas de vacunación. Read More
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